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<!DOCTYPE html>

<title>Permutationstest</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Permutationstest</span></h1>

</header>

</div>

<p>Ein <b>Permutationstest</b> ist in der <a href="Nichtparametrische_Statistik" title="Nichtparametrische Statistik">nichtparametrischen Statistik</a> ein <a href="Exakter_Test" class="mw-redirect" title="Exakter Test">exakter Test</a>, bei dem zufällige <a href="Stichprobenwiederholung" class="mw-redirect" title="Stichprobenwiederholung">Stichprobenwiederholungen</a> unter Annahme der <a href="Nullhypothese" class="mw-redirect" title="Nullhypothese">Nullhypothese</a> identischer Verteilungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}:F=G}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}:F=G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b587413f1bf05485516f44cd01072ad44cca27c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}:F=G}" loading="lazy"></span> gezogen werden. Die Umsetzung erfolgt häufig mithilfe von <a href="Monte-Carlo-Simulation" title="Monte-Carlo-Simulation">Monte-Carlo-Simulationen</a> und dem <a href="Kontrafaktizit%C3%A4t" title="Kontrafaktizität">"Was-wäre-wenn-Ansatz"</a>. Basierend auf der daraus resultierenden Verteilung der <a href="Teststatistik" title="Teststatistik">Teststatistik</a> wird bestimmt, wie wahrscheinlich die Teststatistik der Originaldaten unter der Nullhypothese ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Methode">Methode</h2></div>

<p>Mithilfe von Permutationstests kann beispielsweise untersucht werden, ob zwei Stichproben aus unterschiedlichen Verteilungen stammen (beispielsweise kann man die Differenz der Mittelwerte als Teststatistik auswerten). Die Nullhypothese ist, dass beide Stichproben der gleichen Verteilung entstammen (und die Differenz der Mittelwerte den Wert 0 annimmt). Gilt die Nullhypothese, dann können Datenpunkte von der einen Stichprobe in die andere getauscht werden (Permutation). Man erhält durch Permutieren Stichprobenwiederholungen und kann dann die entsprechende <a href="Teststatistik" title="Teststatistik">Teststatistik</a> wiederholt berechnen und deren empirische Verteilung bestimmen. Aus dieser Verteilung leitet sich direkt der <a href="P-Wert" title="P-Wert">p-Wert</a> der auf den beiden ursprünglichen Stichproben vorliegenden Teststatistik ab<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

Die Zahl der möglichen (sich nicht wiederholenden) Permutationen ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{1}+N_{2} \choose {N_{1}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{1}+N_{2} \choose {N_{1}}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/182431b2bbc615b2d4e31eeaa7870df0735bdea3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.102ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle N_{1}+N_{2} \choose {N_{1}}}" loading="lazy"></span>, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{i}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{i}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fef58cebf23adff9199f17325aefb5515fdca99d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{i}}" loading="lazy"></span> die jeweiligen Stichprobenumfänge sind. Da <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{1}+N_{2} \choose {N_{1}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{1}+N_{2} \choose {N_{1}}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/182431b2bbc615b2d4e31eeaa7870df0735bdea3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.102ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle N_{1}+N_{2} \choose {N_{1}}}" loading="lazy"></span> schnell sehr groß wird, beschränkt man sich typischerweise auf eine <a href="Monte-Carlo-Simulation" title="Monte-Carlo-Simulation">Monte-Carlo-Simulation</a>, welche eine bestimmte Zahl <a href="Zuf%C3%A4llige_Permutation" title="Zufällige Permutation">zufälliger Permutationen</a> zieht (vgl. auch <a href="Zuf%C3%A4llige_Permutation#Fisher-Yates-Verfahren" title="Zufällige Permutation">Fisher-Yates-Algorithmus</a> zur Implementierung).

</p><p>Die Zahl der nötigen Permutationen kann durch Stoppregeln bestimmt werden<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>Ein Beispiel für einen Permutationstest zur <a href="Varianzanalyse" title="Varianzanalyse">Varianzanalyse</a> ist PERMANOVA.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gepaarte_Stichproben">Gepaarte Stichproben</h2></div>

<p>Für <a href="Gepaarte_Stichprobe" class="mw-redirect" title="Gepaarte Stichprobe">gepaarte Stichproben</a> ist der gepaarte Permutationstest geeignet, welcher die Paarungsstruktur beibehält und lediglich innerhalb der jeweiligen Paare permutiert.

Daneben ist der Bootstraptest (neben dem nichtparametrischen <a href="Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test" title="Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test">Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test</a>) geeignet um bei gepaarten Stichproben zu überprüfen ob der Mittelwert der Differenzen statistisch signifikant von Null verschieden ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Begriffliche_Abgrenzung">Begriffliche Abgrenzung</h2></div>

<p><a href="Randomisierter_Test" title="Randomisierter Test">Randomisierte Tests</a> (welche auf einer zufälligen Zuweisung des Testergebnisses beruhen) sind nicht zu verwechseln mit Permutationstests (welche auf zufälligen <a href="Stichprobenwiederholung" class="mw-redirect" title="Stichprobenwiederholung">Stichprobenwiederholungen</a> basieren)<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Historisch wurden Permutationstests gelegentlich als randomisierte Tests bezeichnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alternativen">Alternativen</h2></div>

<p><a href="Bootstrapping-Verfahren" title="Bootstrapping-Verfahren">Bootstrap-basierte Tests</a> nehmen nicht zwangsläufig die Nullhypothese <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}:F=G}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}:F=G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b587413f1bf05485516f44cd01072ad44cca27c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}:F=G}" loading="lazy"></span> an (obwohl es möglich ist).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><cite style="font-style:italic">Monte Carlo Methods</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Randomization, Bootstrap and Monte Carlo Methods in Biology</cite>. Chapman and Hall/CRC, 3. Oktober 2018.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Permutationstest&rft.atitle=Monte+Carlo+Methods&rft.btitle=Randomization%2C+Bootstrap+and+Monte+Carlo+Methods+in+Biology&rft.date=2018-10-03&rft.genre=book&rft.pub=Chapman+and+Hall%2FCRC" style="display:none"> </span></li>

<li>Pesarin, F., Salmaso, L. (2010). Permutation Tests for Complex Data: Theory, Applications and Software. Wiley. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.google.de/books/edition/Permutation_Tests_for_Complex_Data/9PWVTOanxPUC?hl=de">https://www.google.de/books/edition/Permutation_Tests_for_Complex_Data/9PWVTOanxPUC?hl=de</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jwilber.me/permutationtest/"><i>Permutation Test: Visual Explanation.</i></a><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 21. September 2021</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APermutationstest&rft.title=Permutation+Test%3A+Visual+Explanation&rft.description=Permutation+Test%3A+Visual+Explanation&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.jwilber.me%2Fpermutationtest%2F"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Axel Gandy: <cite style="font-style:italic">Sequential Implementation of Monte Carlo Tests With Uniformly Bounded Resampling Risk</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Journal of the American Statistical Association</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>104</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>488</span>, Dezember 2009, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220162-1459%22&key=cql">0162-1459</a></span>, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1504–1511</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1198/jasa.2009.tm08368">10.1198/jasa.2009.tm08368</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Permutationstest&rft.atitle=Sequential+Implementation+of+Monte+Carlo+Tests+With+Uniformly+Bounded+Resampling+Risk&rft.au=Axel+Gandy&rft.date=2009-12&rft.doi=10.1198%2Fjasa.2009.tm08368&rft.genre=journal&rft.issn=0162-1459&rft.issue=488&rft.jtitle=Journal+of+the+American+Statistical+Association&rft.pages=1504-1511&rft.volume=104" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Patrick Onghena: <cite style="font-style:italic">Randomization Tests or Permutation Tests? A Historical and Terminological Clarification</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Randomization, Masking, and Allocation Concealment</cite>. 1. Auflage. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton 2017, ISBN 978-1-315-30511-0, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>209–228</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1201/9781315305110-14">10.1201/9781315305110-14</a></span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.taylorfrancis.com/books/9781315305103/chapters/10.1201/9781315305110-14">taylorfrancis.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Permutationstest&rft.atitle=Randomization+Tests+or+Permutation+Tests%3F+A+Historical+and+Terminological+Clarification&rft.au=Patrick+Onghena&rft.btitle=Randomization%2C+Masking%2C+and+Allocation+Concealment&rft.date=2017-10-30&rft.doi=10.1201%2F9781315305110-14&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=9781315305110&rft.pages=209-228&rft.place=Boca+Raton&rft.pub=Chapman+and+Hall%2FCRC" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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